Operaciones Binarias 

Hay operaciones las cuales se las puede definir, estás no son convencionales y son sobre cualquier conjunto.

Sea S un conjunto cualquiera y sea a ∈ S  ^ b ∈ S

(esto significa que pertenecer al conjunto S y que b 

pertenece al conjunto S). Supongamos que la 
 operación binaria se define por "*" . Esta operación
será BINARIA si y sólo si al par (a,b) le corresponde
un único elemento de S, esto significa que la respuesta
de (a*b) debe corresponder a un elemento del conjunto
denominado como S.

Simbólicamente:  

"*": S x S  → S 

    (a,b) →a * b 

EJEMPLO 1

Sea el conjunto S = R y "*" una operación que se define de la siguiente manera:
a*b = a + 2b. Lo que se quiere decir es que si a=3 y b=2, entonces 3*2 = 3 + 2(2) =7 en otro caso a=4 y b=-3, entonces 4 * (-3) = 4 + 2(-3) = -2. para concluir, se puede establecer la correspondencia para cualquiera de los dos elementos del conjunto S, sin exigir que sean diferentes. 

Lo que podemos verificar que la respuesta siempre va a dar un número que pertenece a los reales, por tanto si se trata de una operación binaria.

EJEMPLO 2 

En cambio, si nos apropiamos al conjunto S = R+ (es decir los reales positivos) y "*" la operación binaria que la definimos como: a*b = a - 2b.

NO ES BINARIA, porque si a = 2  y b = 4 entonces 2*4 = 2 - 2(4) = -6, cuya respuesta no pertenece a lo reales positivos.

A pesar que no se lo halla mencionado, por la razón de que no era necesario, pero en las proposiciones, las operaciones lógicas de conjunción y disyunción son ejemplos de operaciones binarias. También lo serán las de Intersección y de Unión.

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Una función cuadrática tiene la forma:  ax² + bx + c, también llamadas funciones polinómicas de segundo grado(x²).

La gráfica de una función cuadrática es una parábola.

Para graficar una función cuadrática basta con reemplazar valores en "x" y así poder encontrar los valores de y=f(x) e ir colocando los puntos(x,y) para graficar, pero también se puede resolver poniendo a la función como una ecuación igualada a cero(ax² + bx + c=0), esto se puede resolver usando el VI o VII caso de factorización y con esto hallar los valores de x , los cuales serán los puntos por donde pasa la gráfica en el eje de las "x", estos puntos son llamados también raíces  o puntos de corte con el eje de las x.

Otros elementos importantes de la gráfica de una función cuadrática  son los vértices, que representa el centro de la parábola por donde pasa el eje de simetría que divide en la mitad a la parábola. El eje de simetría se da por la ecuación: x= -b/2a y el vértice esta dado por el punto( -b/2a ,f(-b/2a)). 

Para hallar el punto de corte con el eje de las "y" se evalúa la funcion en 0 f(0), esto es f(0)= a(0)² + b(0) + c  donde f(0)= c.

Ejemplo:

• Sea F una función tal que F(x): 2x²+11x+15 grafique la función.

Solución:

2x²+11x+15=0

(2x+6)(2x+5)=0

      2

(x+3)(2x+5)=0

x+3=0     2x+5=0

x=-3       x=-5/2 Estos son los valores de x por donde pasa la gráfica en el eje de las x.

Una manera para saber cuantas raíces tendrá la función cuadrática es con el discriminante: b² − 4ac 

Si  b² − 4ac > 0 Habrán dos raíces.

Si  b² − 4ac < 0 No habrán raíces.

Si  b² − 4ac = 0 solo habrá una raíz

 por lo que si comprobamos con nuestra función f(x): 2x²+11x+15

a=2

b=11

c=15

(11)² − 4(2)(15)=121-120=1

1 > 0 por lo tanto comprobamos que existen dos raíces.

Para hallar el corte en el eje de las "y"

f(0)= 2(0)²+11(0)+15

f(0)=y

y=15

 El vértice está en el punto( -b/2a ,f(-b/2a))

V(-11/4 ,  423/4)

Por lo tanto la gráfica quedaría así(no está a escala):

Si se requiere comprobar la gráfica se puede utilizar programas para graifcar como graphmatica o geogebra.

Presentación1 tkgr de Tami García Romo

Notación para las Proposiciones

En este tema las primeras letras del abecedario en minúscula son los símbolos que acogemos para nombrar las proposiciones.

De este punto en adelante admitiremos los siguientes símbolos para los dos Valores de Verdad de una proposición: 

VERDADERO  1

FALSO            0

Ejemplos: 

Indique ¿Cuáles de las siguientes declaraciones son consideradas proposiciones y aquellos que no?

1. Esta fruta es roja (SÍ)  

2. ¿Estás molesta? (NO)

3. Atiende la eposición (NO)

4. 3+4=7 (SÍ)

5. El gato bajo de la silla (SÍ)

6. ¡Mañana me gano el Lotto! (NO)

7. Miguel debe entregar el deber a menos que quiera reprobar (SÍ)

8. ¿Es hermosa María? (NO)

9. La edad del universo es de unos 15 mil millones de años (SÍ) 

10. ¡Márchate! (NO)

Ahora bien en el lenguaje que compartimos empleamos con periodicidad proposiciones más extensas tales como: 

1. No hice la tarea 02 de Herramientas de Colaboración Digital.

2. Estudio ó juego LOL.

3. Estoy en la ESPOL y estoy feliz.

4. Si enteno, entonces jugaré bien.

Brota la necesidad de describir a los enlaces de estas proposiciones, los llamamos Conectores u Operadores Lógicos.

Fluidos Supercríticos

Fluido Supercrítico

Un fluido supercrítico (FSC) es cualquier sustancia que se encuentre en condiciones de presión y temperatura superiores a su punto crítico. Poseen unas propiedades típicas, lo que habitualmente se denomina como un híbrido entre un líquido y un gas, es decir, puede difundir como un gas, y disolver materiales como un líquido. Los FSC se caracterizan por el amplio rango de densidades que pueden adoptar. Por encima de las condiciones críticas, pequeños cambios en la presión y la temperatura producen grandes cambios en la densidad.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 

En un diagrama de fases clásico, las curvas de fusión, sublimación y vaporización muestran las zonas de coexistencia de dos fases. Tan solo hay un punto de coexistencia de tres fases, el llamado punto triple (PT). El cambio de fase se asocia a un cambio brusco de entalpía y densidad. Pero por encima del punto crítico (PC) este cambio no se produce, por tanto, podríamos definir este punto como aquel por encima del cual no se produce licuefacción al presurizar, ni gasificación al calentar; y por ende un fluido supercrítico es aquel que se encuentra por encima de dicho punto.

                                                        Diagrama de Fases

Los fluidos supercríticos tienen unas propiedades extraordinarias, por lo que poseen un gran potencial para una amplia gama de procesos. Los procesos de extracción con fluidos supercríticos, así como numerosas aplicaciones más, se han establecido a nivel industrial y han llegado a ser de mucha importancia en la industria química. Además, la posibilidad de lograr aumentos considerables de valor agregado de materia prima y residuos de origen vegetal a través de extracciones, significa una de las más importantes perspectivas de desarrollo para la agro-industria. Esto, a su vez, representa un reto para la Ingeniería Química, que debe formular las estrategias más efectivas y menos consumidoras de energía para llevar a cabo extracciones de metabolitos de diversa índole.

Propiedades de los operadores lógicos

Las operaciones lógicas definidas entre las formas proposicionales y algunas de sus más importantes propiedades se incluyen en las denominadas Leyes del Álgebra de Proposiciones o Leyes Lógicas. A continuación se presentan las de uso más frecuente:

Leyes de CONJUNCIÓN Y DISYUNCIÓN

Leyes de NEGACIÓN, CONDICIONAL Y BICONDICIONAL

Leyes de LAS IMPLICACIONES LÓGICAS

A continuación les adjuntare un video de como aplicar estas leyes para ejercicios de proposiciones, es un video hecho por un grupo de estudiantes donde yo también explico ahí:

Fuente: Fundamentos de matemáticas para bachillerato ESPOL. Segunda Edición (Mayo2006) pag:26-28

Proposiciones

En nuestro diario vivir empleaños frases muy simples las cuales nos permiten comunicarnos con las demás personas. Existen exclamasiones, interrogantes, mandatos, desos, oraciones, con los cuales nos informan y somos informados. La lógica matemática, hace uso exclusivo de expresiones que demuestran una falsedad o una verdad. A dichas expresiones se las a llamado proposiciones y estas tienen la cualidad de comunicar una verdad o falsedad, la llamaremos VALOR DE VERDAD.

Entonces:
Proposiciones sn afirmaciones las cuales se les puede dar un valor de verdad VERDADERO o bien un valor de verdad FALSO.
Ejemplos:
1. " Hoy es martes " (acordemos que efectivamente nos encontramos en ese dia de la semana, por lo cual será una afirmación verdadera)
2. "Estoy en clases de Herramientas de Colaboración Digital" ( acordemos que la persona que emite esta afirmación efectivamente está presenciando está clase, por lo cual es una afirmación verdadera)+
3. " Estoy en el campus de la ESPOL" ( supongo ahoraque la persona que emite esta afirmación se encuentre en la universidad Estatal y no en el campus de la ESPOL, concluyendo que es una afirmación falsa)

Existen proposiciones que no se consideran proposiciones tals como las preguntas, los deseos, mandatos,preguntas o exclamaciones; y por tanto no son objeto de estudio para la lógica matemática.
Ejemplos:
1. ¡Ojalá me gane el Pozo Millonario!
2. ¿Hiciste la tarea 01 de Herramientas de Colaboración Digital?
3. Siéntate y has silencio.